每日一向題

又到了每日一題的時節惹~

/* 因為思考的時間比較少,以下的題目會比蛋週一題簡單吧(?),

但相對地,它們會比較向.而分數一樣會登記到記分板喔喔~ */

[7/4][A] (3pts)假設$a_1,a_2,\cdots,a_n$$n$個不同的正整數,證明

(1)
\begin{align} 3\sum_{i=1}^{n}{a_i^5}+\left(\sum_{i=1}^{n}{a_i}\right)^2 \ge 4\left(\sum_{i=1}^{n}{a_i^3}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}{a_i}\right) \end{align}

[7/5][C] (3pts)有一天,有一群小(C)胖(B)子(D),他們有些兩兩是好朋友,有些不是。可是萬惡的小眼皮女神很可惡,要讓他們跟八點檔連續劇一樣:小眼皮要讓每一組好朋友AB之間A喜歡B,但是B討厭A,而且使得對於每個人,$|喜歡的人的人數-討厭的人的人數|\leq1$,這樣八點檔才精彩。請證明小眼皮真的做得到這件事。

[7/6][G] (3pts)不等邊三角形$ABC$的重心為$G$,給定$0<\lambda<\frac{1}{2}$$A_b, A_c$$BC$邊上滿足$\overline{BA_b}=\overline{A_cC}=\lambda \overline{BC}$$B_c, B_a$$C_a, C_b$同理。$A_bB_cC_a$外接圓和$A_cB_aC_b$外接圓交於$PQ$,證明$GPQ$共線。

[7/7][N] (3pts)若$p$是一個奇質數,而且有一個由某些$p$的剩餘系形成的集合$S$滿足
(1)有$a,b\in S$$a\neq b$(mod $p$)
(2)若$i,j\in S$,那麼$\frac{i+j}{2}$ (mod $p$) $\in S$
試證:$S$就是$p$的完全剩餘系

[7/8][A] (3pts) 給定首項係數為$1$的複係數單變數多項式$f$,證明存在複數$x$使得$|x|=1$$|f(x)| \ge 1$

[7/9][C] (3pts) 有N(>1)座城市,每兩座城市之間有一條肥宅道路,你現在要把每條道路都命名為江泓道路或鍾詠先道路其中一者,御坂只能走江泓道路,夏洛特只能走鍾詠先道路,如果任何四個城市ABCD都不會是以下的狀況:AB,BC,CD是江泓道路,另外三條是鍾詠先道路。請證明御坂跟夏洛特恰一個人可以旅行完整個世界。

[7/10][G](3pts)等腰梯形$ABCD$外接圓為$\Gamma$$AD$平行$BC$$\overline{BC}>\overline{AD}$,圓$\omega$同時與$AD,BC,\Gamma$相切,若$\omega$$BC$切於$E$,且$\overline{BE}<\overline{EC}$,證明: $\overline{AB}-\overline{AC}=\overline{EB}-\overline{EC}$

[7/11][N] (3pts) 有七個互不相同的正整數,平均值為20,其中又剛好有三個奇質數、三個平方數、三個立方數、三個三角數、三個費氏數,求這七個數的所有可能。

[7/12][A] 找出以下的單射函數們$f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$使得下列的等式們成立:

(2)
\begin{align} f(x+f(y)) &= g(x) + h(y) \\ g(x+g(y)) &= h(x) + f(y) \\ h(x+h(y)) &= f(x) + g(y) \end{align}

[7/13][C] 平面上有三隻狗狗、三隻貓貓、三隻兔兔,其中任三隻動物不共線,任四隻動物不共圓,證明存在一隻狗狗、一隻貓貓、一隻兔兔,使得他們的外接圓內部和外部都各有一隻狗狗、一隻貓貓、一隻兔兔。

[7/14][G] 凸四邊形$ABCD$$AB,BC,CD,DA$邊上分別有$P,Q,R,S$,滿足

(3)
\begin{align} AP/PB=DR/RC=AD/BC \\ BQ/QC=AS/SD=BA/CD \end{align}

$PQRS$共圓,證明$ABCD$有內切圓。

[7/15][N] 對於所有的非零整數$k$,定義$S(k)$是整除$k$的最大的完全平方數,且令$F:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$滿足$k=S(k)F(k)\quad\forall k\in\mathbb{Z}$.(特別地,$F(0)=0$).試求所有的函數$f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$滿足

(4)
\begin{align} F(f(m)+n)=F(f(n)+m)\quad\forall m,n\in\mathbb{Z} \end{align}

[7/16][A] 假設正數 $a,b,c,d$ 滿足 $a \le 2, a+b \le 6, a+b+c \le 12, a+b+c+d \le 24$ ,證明

(5)
\begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \ge 1 \end{align}

[7/17][C] 有一隻鴨子在一個正方形的正中央,每個時刻鴨子可以朝斜率正的方向(右上)行走,當碰到邊界時,鴨子會從最右側被傳送到最左側,或著從上面被傳送到下面。鴨子最後會走回原點,且路徑不能自交,試證明鴨子使用右邊和上面傳送門的次數互質。

[7/18][G] 三角形$ABC$外接圓上有一動點$P$$P,A$$BC$異側,$I_b,I_c$分別是三角形$APB,APC$的內心,證明:$I_bI_cP$的外接圓過一定點(當$P$$BC$弧上動)。

[7/19][N] 對於任意的相異正平方數$a,b,c$, 證明$y^2(x+a)=(x+b)(x+c)$有正整數解,且只有有限組。

[7/20][A] 求所有函數$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$使得對於任意沒退化的正2016邊形$A_1,A_2,\cdots,A_{2016}$,都有

(6)
\begin{align} f\left(A_1\right)+f\left(A_2\right)+\cdots+f\left(A_{2016}\right)=0 \end{align}

[7/21][C]有一個$m\times n$的格點,其中$(m,n)=1$,從左下角出發,每次都走在對角線以下且只能向右或上,請證明走到右上角的方法數為$\frac{1}{m+n}(^{m+n}_m)$

[7/22][G] 三角形$ABC$$\angle A=50^{\circ} ,\angle B=60^{\circ},\angle C=70^{\circ}$,點$D$$BC$上使得$AB+BD=AD+DC$,求$\angle BAD$

[7/23][N]求所有非負整數對$k,n$滿足$k\leq n$而且

(7)
\begin{align} \sum_{2^k|i} \binom{2^n}{i}\not\equiv 0\mod 2^{n-k+2} \end{align}
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