和藹的題目 OwO

邪惡的題目真的太邪惡了,小編都不太會 =33=

也想恢復點信心的,你們來對地方啦!:33

我們會不定時地在這邊放些問題讓大家想想 ~ >33<

[A]

1. 證明對於任意相異的正實數 $a,b,c$,都有

(1)
\begin{align} \frac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2} > 2 \end{align}

2. 是否存在函數 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 使得對於所有的正整數 $n$,都有

(2)
\begin{align} f\left(n+2\right)=f\left(n+1\right)+f\left(f\left(n\right)\right) \end{align}

3. 證明對於總和為 $2$ 的任意正實數 $a,b,c,d$,都有

(3)
\begin{align} \frac{\left(a+c\right)^2}{ad+bc}+\frac{\left(b+d\right)^2}{ac+bd}+4 \ge 4\left(\frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1}\right) \end{align}

4. 是否存在函數 $f,g: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ 使得 $f \circ g$ 是嚴格遞增但 $g \circ f$ 是嚴格遞減?

5. 證明對於所有實數 $x,y$,以下的不等式都成立.

(4)
\begin{align} \left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+4\left(x-1\right)\left(y-1\right) \ge 0 \end{align}

6. 是否存在函數 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, g: \mathbb{N} \to \{1,2\}$ 滿足對於所有 $m,n \in \mathbb{N}$,都有

(5)
\begin{align} g\left(m\right)=g\left(n\right) \Leftrightarrow f\left(m+n\right)=f\left(m\right)+f\left(n\right) \end{align}

7. 找出最大的 $k$ 滿足對於所有總和為 $4$ 的非負實數 $a,b,c,d$,都有

(6)
\begin{align} \frac{a}{b^3+4}+\frac{b}{c^3+4}+\frac{c}{d^3+4}+\frac{d}{a^3+4} \ge k \end{align}

8. 是否存在二元多項式 $P\left(x,y\right)$ 使得

(7)
\begin{align} P\left(x,y\right) > 0 \Leftrightarrow x > 0, y > 0 \end{align}

[C]

1.你,一個現充,正在與你的男/女朋友(以下稱作A)走在路上。突然之間,一個去死去死團的團員(以下稱作B)出現,將你們兩個擊昏。
當你們兩個醒來的時候,發現你們已經被關在牢房裡了。這時,B現身在你們眼前,如此說道:
「現充…現充…我倒要看現充有多少能耐…啊!就來考驗你們的默契好了!

我等下會給你一個長度為$2^n$的01字串,而你要寫下一個長度為$2^n+L$的01字串當作傳給A的暗號。而A看到這個暗號之後必需要回答出你所看到的01字串是什麼。只要你們答對,我就放你們走。當然,只要答錯,就…嘿嘿嘿嘿。

不過,不是說愛情的力量是很偉大的嗎…那我在傳遞的過程偷偷改掉一個字元應該也不會有問題囉!
啊哈哈哈哈哈…」B的聲音逐漸淡去,「啊對了,我給你們兩個一點點討論的時間好了,待會兒好好加油」,B最後如此補充。

請證明:
(1)如果你和A有個一定可以答對的策略, 那麼$L\geq n+1$.
(2)證明$L=n+2$時你和A有一個一定可以答對的策略。

註:B會選至多一個字元並且改成另一個字元(也就是說0改成1, 1改成0)。

2.從前從前,在漢堡國,有$n$個漢堡,他們很喜歡吃漢堡。然而,他們吃漢堡的速度因漢堡而異:第1個漢堡的速度是$a_1$, 第2個漢堡的速度是$a_2$, …, 第$n$個漢堡的速度是$a_n$. 他們的大小也因漢堡而異,其中第$i$個漢堡的大小是$b_i$. 這裡$a_i,b_i$都是正實數。

有一天,一條熱狗闖進了漢堡國,並且想要集結$k$個漢堡造反。這條熱狗想要順利造反,所以他想在最糟的情況下仍保有絕對優勢,也就是說在剩下$n-k$個漢堡都要和熱狗對抗的情況下,熱狗還是能夠輕易的取勝。

漢堡們打架的方法當然就是互相吃對方,直到其中一方被吃完為止。所以這條熱狗想要讓所選的$k$個漢堡,不論是在速度總和,還是在大小總和,都嚴格大於剩下的$n-k$個漢堡。

如果對於任何的$a_i,b_i$, 熱狗總能選出符合上述條件的$k$個漢堡,請問$k$的最小值是多少?(以$n$表示)

[N]

1. 求出以下方程式所有的整數解

(8)
\begin{equation} a^3+b^3+c^3=33 \end{equation}

2. 若$a,b,c\in\mathbb{N}$$a\leq b\leq c$,試證:當$ab+1,bc+1,ca+1$皆為平方數時,

(9)
\begin{align} c=a+b+\sqrt{ab+1} \text{ or } c\geq 4ab \end{align}
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