邪惡的題目真的太邪惡了,小編都不太會 =33=
也想恢復點信心的,你們來對地方啦!:33
我們會不定時地在這邊放些問題讓大家想想 ~ >33<
[A]
1. 證明對於任意相異的正實數 $a,b,c$,都有
(1)2. 是否存在函數 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 使得對於所有的正整數 $n$,都有
(2)3. 證明對於總和為 $2$ 的任意正實數 $a,b,c,d$,都有
(3)4. 是否存在函數 $f,g: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ 使得 $f \circ g$ 是嚴格遞增但 $g \circ f$ 是嚴格遞減?
5. 證明對於所有實數 $x,y$,以下的不等式都成立.
(4)6. 是否存在非線性函數 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 和函數 $g: \mathbb{N} \to \{1,2\}$ 滿足對於所有 $m,n \in \mathbb{N}$,都有
(5)7. 找出最大的 $k$ 滿足對於所有總和為 $4$ 的非負實數 $a,b,c,d$,都有
(6)8. 是否存在二元多項式 $P\left(x,y\right)$ 使得
(7)[C]
1.你,一個現充,正在與你的男/女朋友(以下稱作A)走在路上。突然之間,一個去死去死團的團員(以下稱作B)出現,將你們兩個擊昏。
當你們兩個醒來的時候,發現你們已經被關在牢房裡了。這時,B現身在你們眼前,如此說道:
「現充…現充…我倒要看現充有多少能耐…啊!就來考驗你們的默契好了!
我等下會給你一個長度為$2^n$的01字串,而你要寫下一個長度為$2^n+L$的01字串當作傳給A的暗號。而A看到這個暗號之後必需要回答出你所看到的01字串是什麼。只要你們答對,我就放你們走。當然,只要答錯,就…嘿嘿嘿嘿。
不過,不是說愛情的力量是很偉大的嗎…那我在傳遞的過程偷偷改掉一個字元應該也不會有問題囉!
啊哈哈哈哈哈…」B的聲音逐漸淡去,「啊對了,我給你們兩個一點點討論的時間好了,待會兒好好加油」,B最後如此補充。
請證明:
(1)如果你和A有個一定可以答對的策略, 那麼$L\geq n+1$.
(2)證明$L=n+2$時你和A有一個一定可以答對的策略。
註:B會選至多一個字元並且改成另一個字元(也就是說0改成1, 1改成0)。
2.從前從前,在漢堡國,有$n$個漢堡,他們很喜歡吃漢堡。然而,他們吃漢堡的速度因漢堡而異:第1個漢堡的速度是$a_1$, 第2個漢堡的速度是$a_2$, …, 第$n$個漢堡的速度是$a_n$. 他們的大小也因漢堡而異,其中第$i$個漢堡的大小是$b_i$. 這裡$a_i,b_i$都是正實數。
有一天,一條熱狗闖進了漢堡國,並且想要集結$k$個漢堡造反。這條熱狗想要順利造反,所以他想在最糟的情況下仍保有絕對優勢,也就是說在剩下$n-k$個漢堡都要和熱狗對抗的情況下,熱狗還是能夠輕易的取勝。
漢堡們打架的方法當然就是互相吃對方,直到其中一方被吃完為止。所以這條熱狗想要讓所選的$k$個漢堡,不論是在速度總和,還是在大小總和,都嚴格大於剩下的$n-k$個漢堡。
如果對於任何的$a_i,b_i$, 熱狗總能選出符合上述條件的$k$個漢堡,請問$k$的最小值是多少?(以$n$表示)
[G]
1. 三角形$ABC$三邊上有六點$D_1,D_2,E_1,E_2,F_1,F_2$, 其中$D_1,D_2$在邊$BC$上,$E_1,E_2$在邊$AC$上,$F_1,F_2$在邊$AB$上。點$D,E,F$分別是邊$BC,CA,AB$上的動點使得$D_1D/DD_2=E_1E/EE_2=F_1F/FF_2$.
證明:三角形$AEF$以及三角形$BDF$異於$F$的交點X的軌跡是一個圓。
[N]
1. 求出以下方程式所有的整數解
(8)2. 若$a,b,c\in\mathbb{N}$且$a\leq b\leq c$,試證:當$ab+1,bc+1,ca+1$皆為平方數時,
(9)