每日一題的解答也可以作為報名資料繳交，繳交題數不限，但也不需要太多啦！
不過也還是希望各位能試著去解八題中的題目喔！
[7/7]
組合 C
阿里巴巴的寶箱有一圓形轉盤，它是開啟寶箱的機關。轉盤的圓周上有n 個完全相同的桶子，任何相鄰桶子的距離都相等。在每一個桶子內各放置正面或反面的金幣。阿里巴巴每次操作都可以選擇任何位置、總個數為k 的桶子，並觀察這k 個桶子內的金幣。在他觀察完以後，他可以選擇對這k 個桶子內的金幣進行上下翻轉，每一個金幣都可以選擇翻或不翻。當每次操作結束，如果桶內有連續n-1 個金幣全部都是正面或反面，則寶箱就會打開。否則圓盤就會立即開始轉動，它每一次轉動的角度都是隨機的，並且在一次轉動完以後，沒有人能分辨原本的桶子轉動之後會停在哪裡且是否被翻轉過。無論這些金幣如何擺置，如果阿里巴巴能有策略打開門，那麼稱此時所選取的k 為「好k 」。
對於固定的n，「好k 」中最小的數稱為k(n)。
求k(n)，當
(1) n=5
(2) n=7
(3) n=15
[7/6]
代數 A
求所有函數$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，滿足$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^4+y^2)$。
[7/5]
數論 N
找出所有正整數 $n$
使得 $2^n + n \mid 8^n + n$
[7/4]
組合 C
找最小的 k 滿足:
在一個 2nk 的棋盤
對每一個方格塗色，共有n種顏色
使得不論如何塗色，都存在兩行兩列
使這兩行兩列的四個交點方格都同色
[7/3]
代數 A
$a,b,c>0$，$abc=1$，求證：
$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c-1)$
[7/2]
幾何 G
三角形ABC，有一圓O交BC於$D_1,D_2$，交CA於$E_1,E_2$，交AB於$F_1,F_2$，使得$D_1,D_2,E_1,E_2,F_1,F_2$構成一個凸六邊形。令$D_1E_1,D_2F_2$相交於L，$E_1F_1,E_2D_2$相交於M，$F_1D_1,F_2E_2$相交於N。
證明AL,BM,CN三線共點。
[7/1]
幾何 G
銳角三角形ABC，M為$\overline{AB}$中點，H為$\overline{AB}$邊上的垂足。K,L分別在直線AB的兩側，且$\overline{AK}$垂直$\overline{CK}$，$\overline{BL}$垂直$\overline{CL}$，$\angle ACK =\angle LCB$。
證明K,H,M,L四點共圓。
[6/30]
代數 A
試著找出所有函數$f,g : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 使得：
$f(g(x)-g(y))=f(g(x))-y$
$g(f(x)-f(y))=g(f(x))-y$
對於所有 $x,y \in \mathbb{Q}$
[6/29]
數論 N
找出所有的正整數x，使得 $x^4+x^3+x^2+x+1$為完全平方數
[6/28]
幾何 G
凸五邊形AFBCG(照順序)，滿足$\overline{AF}=\overline{FB}$，$\overline{AG}=\overline{GC}$，且$\angle AFB =\angle AGC =\theta$
D在$\overline{BF}$上，E在$\overline{CG}$上滿足$\angle DAB =\angle EAC = \theta$
若$\overline{CF}$交$\overline{BG}$於P，$\overline{CD}$交$\overline{BE}$於Q
求證A、P、Q共線
[6/27]
代數 A
${a_n}$是一個實數數列，$a_1=2$ 且 $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ 對於所有正整數 n，證明：
$1-\frac{1}{2013^{2013}} < \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2013}} < 1$
[6/26]
組合 C
給一個凸n邊形
以對角線切割成n-2個三角形
(三角形的邊只能是n邊形的邊或對角線)
每個三角形黑白塗色
相鄰的三角形必須不同色
問:對於所有 n,黑三角至多比白三角多多少個?
[6/25]
數論 N
試決定所有正整數數列${x_1,x_2,...,x_{103}}$使得：
$x_1^n+2x_2^n+...+103x_{103}^n=1+a^{n+1}$
有無限多組正整數解(n,a)
[6/24]
組合 C
怪人又來了，並且知道世界上只有2013種怪人，分別稱為第1種怪人、第2種怪人、……、第3種怪人。
可是怪人們之間並不怎麼和睦，我們知道對於所有a,b (a,b可相同)，當第a種怪人、第b種怪人、第ab種怪人 齊聚一堂時，他們就會打架，就會導致世界毀滅。不過其他時候他們都會和平相處。
試問最多能有幾種怪人聚在一起，而不導致世界毀滅。
舉個例子：第1種怪人超級怪，只要有第1種怪人在，他們就會自己跟自己打架。
[6/23]
(題目敘述筆誤，已修正題目錯誤，非常抱歉)
組合幾合 GC
平面上有若干個點，任意三點不共線
如果對一個點A "存在" 99個點 $B_1 B_2 ... B_{99}$ 使得 線段長
$\overline{AB_1}: \overline{AB_2}: \overline{AB_3}: ... :\overline{AB_{99}} = 1:2:3... 99$
稱點A為 美好的
問: 是否平面上能有若干個點 使 99% 以上的點 都是 美好的?
組合幾何 GC
把一個正方形切割成 n 個銳角三角形，求可能的 n 的最小值?
[6/22]
幾何 G
三角形ABC，以AB、AC為邊向外做兩個相似的直角三角形:
$\Delta$ABP~$\Delta$ACQ，且P、Q為直角。
若BQ和CP交於R，證明AR垂直PQ
[6/17]
組合 C
Part 1
在4*4的棋盤裡有一隻怪人，這個怪人非常的怪，他每一步都只會往左或往右走，也就是他不能走跟他上一步走的方向相同或相反(往前或往後)。
現在怪人想要盡量的走遍這個棋盤，可是怪人非常討厭走已經走過的格子，所以怪人走過的格子他就不會再走了。並且怪人走到沒路走的時候就會憤而倒地，就此不起。
試問如果怪人可以自己選擇從哪個格子開始(結束不需要回到原位)，那麼他在倒地之前最多能走幾個格子? (並且要證明最多)
Part 2
如果現在怪人跑到6*6的格子上會如何呢?
