每日一題

[7/5]
在一個面積為4的平行四邊形中有五個點,且任三點都不共線。令N為這五個點中任取不同三點構成的三角形面積不超過1的數量(小於等於1)
請找出N的最小值為何?

[7/4]
假設 0<a<d<e<f<b<c,且滿足a+b+c=d+e+f
證明 def > abc

[7/3]
亞當斯夫婦參加一個聚會,他們到時已經有三對夫婦。互相握手時,沒有人和自己的配偶握手,沒人和自己握手,沒有人和相同的人握手兩次。握手結束後,亞當斯先生問其他每一個人握手的次數,意外的發現每個人的答案都不一樣(不包括亞當斯先生自己)。請問:亞當斯夫人握手了幾次。

[7/2]
有n個人參加桌球比賽,任兩個人恰好比賽一場(沒有平手),證明以下兩種結果洽有一種會發生:
(1) 可以給這n個選手編號,並使得1號擊敗2號,2號擊敗3號,…,n-1號擊敗n號,n號擊敗1號。
(2) 這n個選手可以分成兩群A,B,使得A裡面的每一個選手都擊敗B裡面的每一個選手。

[6/30]
證明不存在函數 f:R->R
使得對於所有的實數x,都有 f(f(x))=x^2-2
(Canada winter camp)

[0629]
怪人跟二哥又在玩遊戲了,這次是在一個(m+1)*m的棋盤上玩遊戲,其中有m+1條水平線,m條垂直線。
將一塊玉石放在某個交點上,兩人輪流依序將玉石沿著邊移動到相鄰的交點,而移動過的邊就不能再移動了,最後不能移動的人輸。假設怪人先手,而且玉石一開始是放在最下端水平線的某個交點上,證明怪人有必勝策略。

[6/28]
a,b是兩個不同的正整數,使得 a^2+ab+b^2 整除 ab(a+b)
證明 |a-b|^3 > ab

[6/27]
銳角三角形ABC,ABC外接圓為圓O,令D為弧BAC的中點,I是三角形ABC的內心,令DI交BC於點E 而交圓O於F,令P為AF上的一點使得PE平行AI,證明PE是角BPC的角平分線
(伊朗 2012 TST)

[6/21]
現在有一個凸六邊形ABCDEF(按逆時鐘順序),如果ABCD共圓,CDEF共圓,EFAB共圓
證明:ABCDEF根本就全部都共圓

[6/20]
找出所有函數f:N->N,使得
(i) f(n!)=f(n)! 對於所有n是正整數
(ii) m-n整除f(m)-f(n) 對於所有m,n是不同的正整數
[from USAMO]

[6/18]
證明,存在N正整數,使得平面上任意n>N個不共線的點都有凸100邊形

[6/16]
一個集合S,它的冪集P(S)(power set),是以S的全部子集為元素的集合,例如S={1,2,3},那麼P(S)=},{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3
把冪集的每個元素的和算出來,上例可得{0,1,2,3,3,5,4,6}
現定義一個冪和集sumP(S),他的每個元素長作(a_i,b_i),代表S冪集的和中,a_i出現了b_i次,其中b_i>0,在上述範例中sumP(S)={(0,1),(1,1),(2,1),(3,2),(4,1),(5,1),(6,1)}
現在給定一個冪和集sumP(S)={(-6,1),(-5,1),(-4,3),(-3,3),(-2,4),(-1,4),(0,5),(1,5),(2,6),(3,6),(4,5),(5,5),(6,4),(7,4),(8,3),(9,3),(10,1),(11,1)),試求出所有可能的整數集合S。
modified from 2015 google code jam Round 3

[6/14]
證明:2n個人裡面,必有兩個人,他們的共同朋友數目是偶數

[6/13]
求所有的函數f:Q→R+∪{0}滿足
(1)只有f(0)=0
(2)f(ab)=f(a)f(b)
(3)f(a+b)≤max{f(a),f(b)}

[6/12]
證明:1/1+1/3+1/5+…+1/n不是整數
n是大於1的奇數

[6/11]
尺規作圖題
給定兩個圓和一條直線,求作一個正三角形,他的三個頂點分別在這兩個圓和這條直線上。

[6/9]
尺規作圖題
給定凸四邊形ABCD,試作:在CD上找一點P使得角CBP=角DAP

[6/7]
有n個怪人參加派對,每個怪人手上都有一些數量的硬幣,每分鐘每個怪人都會檢查自己手上有幾個硬幣,
如果怪人發現他手上有n-1個以上的硬幣,這些怪人就會暴怒並且同時對自己以外的怪人丟出一個硬幣(怪人是同時暴怒的,所以會發生A丟給B同時B也丟給A的情況)
怪人會把丟向自己的硬幣接起來然後收入手中,繼續等待下一分鐘。
試問,總共至少要多少硬幣,才會使得怪人們會永無止境的一直彼此丟硬幣?

[6/6]
有一條長為一公里的路,但是這條路的兩端都是懸崖,現在有n個怪人在這條路上,每個怪人都面向路的某一端,並且開始朝著自己面對的方向移動,已知若兩個怪人碰在一起,
他們就會立即轉向並且繼續移動,而當怪人走到路的盡頭時,怪人就會掉下懸崖。
假設怪人每秒可以走一公里,試證全部的怪人都會在一秒之內掉到懸崖下。

[6/5]
有個m*n的大方格,簡哥在每一個1*1的方格上面都畫上洽好一條對角線。現在有個怪人非常怪,他走路永遠只走對角線,而且只走簡哥畫的那些對角線,
試證,不論簡哥怎麼畫對角線,怪人一定找的到一條怪路,使得他可以從方格的上端走到下端 或是 從左端走到右端。

(出自 AOPS)

[6/4]
平面上有n個凸k邊形,任兩個k邊形都相似而且正向位似(即可以找到一個點,使得可以將A圖形經過對該點等比例的縮放變成另一個B圖形),且兩兩都有交點,
證明存在一個點使得這個點被至少 $1 + \frac{n-1}{2k}$ 個k邊形覆蓋。

(出自 Canada winter camp)

[6/3]
有九個怪人和一個簡哥一起出去玩,有一天簡哥買了一個蛋糕想要請怪人們吃,但是美味蛋糕只有一個,怪人卻有九個
簡哥實在很煩惱,最後簡哥想出了一種方法,就是玩一個遊戲來決定哪一個怪人可以吃到美味蛋糕
遊戲如下:
簡哥先將蛋糕裝入一個盒子裡以防止怪人偷吃,然後怪人們跟簡哥圍成一個編號為1~10的圈圈,簡哥坐在1號位置先拿著盒子,
而之後拿著盒子的人都必須擲一個硬幣,當硬幣為正面時,則將盒子往右傳,硬幣為反面時,將盒子往左傳,如此一直繼續下去
直到當所有人都拿過盒子時,最後一個拿到盒子的人可以把美味蛋糕獨吞吃掉。

試問:如果你是聰明絕頂的怪人,那你會選擇坐在哪個位置使得你吃到蛋糕的機率最大呢?

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