想要我們出的題目嗎?想要的話可以全部給你,去解吧! 小編把所有的題目都放在下面了。
交卷方式: (以 IOI 作為參考)
1. 到報名截止(7/9)前可以瘋狂寄答案。
2. 三天內會告訴各位上傳結果 (e.g.AC,WA,TLE)
結果對照表:
代號 | 意義 |
---|---|
AC (Accept) | 即表示滿分 |
WA (Wrong Answer) | 過程中有錯誤,可能有部分分數 *不會告知錯在哪 |
TLE (Time Limit Exceed) | 工作人員需要更多時間審核 |
MLE (Memory Limit Exceed) | 記憶體使用過量 如:使用了超乎想像的展開式 |
OLE (Output Limit Exceed) | 寫了太多無關的結果 |
RE (Runtime Error) | 記憶體配置錯誤,像是重複標號 |
RF (Restricted Function) | 使用了禁斷的大定理 *會指明使用了什麼不合法的結果 |
CE (Compile Error) | 工作人員無法正常閱卷,常見的可能原因有拍照效果不佳或字跡過於凌亂 |
SE (System Error) | 未定義的錯誤均屬於 System Error |
真相永遠只有一個;但題目卻有十二個!
有趣的題目們:
A1.
如果正實數 $a, b, c$ 滿足 $abc=1$。試證明下面的不等式。
(1)A2.
有一個函數 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 滿足 $f(1)=1$,並且對於任意正整數對 $\left(a,b\right)$,都有:
(2)試求出 $f\left(2017\right)$ 的所有可能值。
C1.
證明在一個 $1000.999 \times 1000.999$ 的正方形中,可以不重疊地放入 $1000001$ 個 $1 \times 1$ 的小正方形。
C2.
平面上有一些(有限個)不共線的點,還有一條魯蛇。假設任取三點都不共線。一開始,這條魯蛇從其中一個點往另外一個點移動,
過程中,它每次碰到新的一個點後,就會改成朝向使得要順時針轉的角度最小的那個點出發。證明這隻魯蛇最後會在凸包上面繞圈圈。
備註: 此處的凸包是包含這些點的最小凸多邊形。
G1.
平面上有四個不共線的點 $A, B, C, P$。現在做 A,B,C 關於 $P$ 的對稱點 $A', B', C'$。
證明: $\triangle ABC', \triangle AB'C, \triangle A'BC$ 的外接圓有公共點。
G2.
長方形 $\square ABCD$ 中,$AB=\sqrt{2}, BC=1$。以 $AB$ 為直徑向長方形外作半圓,並在此半圓上取一點P。
假設 $PC, PD$ 分別與 $AB$ 交於 $E, F$證明: $AE^2 +BF^2 = AB^2$
N1.
令 $p_n$ 為第 $n$ 個質數(e.g. $p_1=2, p_2=3, p_3=5$),證明對於任意正整數 $n$,
(3)都不是質數
N2.
對於兩個非負整數 $n,m$,如果 $m$ 是 $n$ 的某幾個連續的位數,則我們說 $n$ 包含 $m$。
舉例來說,$2017$ 包含了 $2, 0, 1, 7, 20, 17, 201, 2017$。請求出不包含任何 $7$ 的倍數的最大的整數。
所以我說那另外4題呢?
也許前面的題目對於各位來說,還是稍微簡單了點,於是這邊準備了更有挑戰性的題目讓大家來思考!
A3.
找出所有實係數多項式$P$滿足
(4)C3.
在一個33x33的正方形中放一些紅點或藍點(可以在邊界上),滿足:
1)對於一對紅點和藍點,垂直距離$\geq 2$或水平距離$\geq 2$;
2)對於兩個紅點,垂直距離$\geq 1$或水平距離$\geq 3$;
3)對於兩個藍點,垂直距離$\geq 3$或水平距離$\geq 1$;
試問最多可以放幾個點?
G3.
給定一圓及圓上四點$B,C,X,Y$,設$A$為線段$BC$的中點,$Z$為線段$XY$的中點,過$B,C$分別做垂直$BC$直線$L_1,L_2$,設過$X$垂直$AX$直線分別交$L_1,L_2$於$X_1,X_2$,過$Y$垂直$AY$直線分別交$L_1,L_2$於$Y_1,Y_2$,令$X_1Y_2$與$X_2Y_1$相交於$P$點。證明$\angle AZP=90^o$。
N3.
若$x,p,d\geq 2$為三正整數滿足$p,2p,\dots ,(d-1)p$皆不被$x$整除,且其中除以$x$後的餘數最小者為$ip$, 最大者為$jp$,試證:
(1) $\gcd(i,j)=1,i+j\geq d$.
(2)設$ip$除以$x$的餘數為$r_1$, $(x-j)p$除以$x$的餘數寫$r_2$, 那麼$x=ir_2+jr_1$.
溫馨提醒:
畢竟題目都很靈活,在嘗試解題的過程中,你們可能會深陷思維的泥沼,然後數小時無法突破。
但如果現在放棄的話,比賽就結束了!所以到報名截止前,盡可能地腦力激盪吧~