邪惡的題目 OAO

想要我們出的題目嗎?想要的話可以全部給你,去解吧! 小編把所有的題目都放在下面了。

交卷方式: (以 IOI 作為參考)

1. 到報名截止(7/9)前可以瘋狂寄答案。

2. 三天內會告訴各位上傳結果 (e.g.AC,WA,TLE)

結果對照表:

代號 意義
AC (Accept) 即表示滿分
WA (Wrong Answer) 過程中有錯誤,可能有部分分數 *不會告知錯在哪
TLE (Time Limit Exceed) 工作人員需要更多時間審核
MLE (Memory Limit Exceed) 記憶體使用過量 如:使用了超乎想像的展開式
OLE (Output Limit Exceed) 寫了太多無關的結果
RE (Runtime Error) 記憶體配置錯誤,像是重複標號
RF (Restricted Function) 使用了禁斷的大定理 *會指明使用了什麼不合法的結果
CE (Compile Error) 工作人員無法正常閱卷,常見的可能原因有拍照效果不佳或字跡過於凌亂
SE (System Error) 未定義的錯誤均屬於 System Error

真相永遠只有一個;但題目卻有十二個!

有趣的題目們:

A1.

如果正實數 $a, b, c$ 滿足 $abc=1$。試證明下面的不等式。

(1)
\begin{align} \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{1}{a} \ge a+b+1 \end{align}

A2.

有一個函數 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 滿足 $f(1)=1$,並且對於任意正整數對 $\left(a,b\right)$,都有:

(2)
\begin{equation} f(a+b+ab)=a+b+f(ab) \end{equation}

試求出 $f\left(2017\right)$ 的所有可能值。

C1.

證明在一個 $1000.999 \times 1000.999$ 的正方形中,可以不重疊地放入 $1000001$$1 \times 1$ 的小正方形。

C2.

平面上有一些(有限個)不共線的點,還有一條魯蛇。假設任取三點都不共線。一開始,這條魯蛇從其中一個點往另外一個點移動,

過程中,它每次碰到新的一個點後,就會改成朝向使得要順時針轉的角度最小的那個點出發。證明這隻魯蛇最後會在凸包上面繞圈圈。

備註: 此處的凸包是包含這些點的最小凸多邊形。

G1.

平面上有四個不共線的點 $A, B, C, P$。現在做 A,B,C 關於 $P$ 的對稱點 $A', B', C'$

證明: $\triangle ABC', \triangle AB'C, \triangle A'BC$ 的外接圓有公共點。

G2.

長方形 $\square ABCD$ 中,$AB=\sqrt{2}, BC=1$。以 $AB$ 為直徑向長方形外作半圓,並在此半圓上取一點P。

假設 $PC, PD$ 分別與 $AB$ 交於 $E, F$證明: $AE^2 +BF^2 = AB^2$

N1.

$p_n$ 為第 $n$ 個質數(e.g. $p_1=2, p_2=3, p_3=5$),證明對於任意正整數 $n$

(3)
\begin{align} \frac{p_n+p_{n+1}}{2} \end{align}

都不是質數

N2.

對於兩個非負整數 $n,m$,如果 $m$$n$ 的某幾個連續的位數,則我們說 $n$ 包含 $m$

舉例來說,$2017$ 包含了 $2, 0, 1, 7, 20, 17, 201, 2017$。請求出不包含任何 $7$ 的倍數的最大的整數。

所以我說那另外4題呢?

也許前面的題目對於各位來說,還是稍微簡單了點,於是這邊準備了更有挑戰性的題目讓大家來思考!

A3.

C3.

G3.

N3.

溫馨提醒:

畢竟題目都很靈活,在嘗試解題的過程中,你們可能會深陷思維的泥沼,然後數小時無法突破。

但如果現在放棄的話,比賽就結束了!所以到報名截止前,盡可能地腦力激盪吧~

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