有雷的題目OwO

A.(航海王)

山治掀開了布琳的瀏海,不禁說出,多麽美麗的題"目"啊:
「1. 對於任何正實數 $a,b,c$ 滿足 $abc=1$,都有

(1)
\begin{align} c\sqrt{\frac{2(1+a)}{(1+b)(1+c)}}+a\sqrt{\frac{2(1+b)}{(1+c)(1+a)}}+b\sqrt{\frac{2(1+c)}{(1+a)(1+b)}} \ge 3 \end{align}

草帽海賊團看著魯夫最新的懸賞單,發現金額變成了十五億貝里,上面還附著一道題目:
「2. 給定正整數 $n$,試找出所有整係數多項式 $P(x)$ 滿足

(2)
\begin{align} P(1), \dots, P(n) \quad 是 \quad 1, \dots, n \quad 的排列 \end{align}

C.(進擊的巨人)

瑪雷人將超大型巨人與鎧之巨人投放到帕拉迪島,為了打破艾爾狄亞第145代王卡爾·弗利茲所建立的城牆。超大型巨人撬開了瑪莉雅之牆後,問了裡面的人一題問題:
「1. 有一隻橘子巨人在一個$n\times n$棋盤的左下角,調查兵團的言言在棋盤的右上角。現在他們兩人輪流移動,每一輪都要移動到與原先所在位置相鄰的格子,由言言先。橘子的目的是要追到言言,請問橘子要花幾回合才能保證追到言言?」

而女巨人亞妮在逃亡的過程中,為了妨礙調查兵團,在路邊留下了一道題目:
「2. 定義一個字串"生出"一個數$x$代表我們可以從字串中取出一段連續子字串,其和為$x$。考慮所有長度為$n$且由$1,2,3$構成的字串中,最多能生成幾個不同的數字?」

G.(風夏)

秋月風夏被小優下一任女朋友碧井風夏的爸爸開的卡車撞死前,用血在地上畫了一題幾何:
「1. 設$ABC$為一個三角形,$O,H$分別為其外心、垂心,$\ell$$A$關於其外接圓的切線。分別在$CA,AB$上取兩點$E,F$使得$HF,HE$分別與$CA,AB$平行,令$EF,\ell$分別交$BC$$Y,Z$$EF$$\ell$$D$。證明:$DZ'$垂直於$OH$,其中$Z'$$Z$關於$Y$的對稱點。」

後來,小優拒絕了小雪,並且邀請碧井加入樂隊時,同伴相當反對,於是出了一道題:
「2. 令$A,B,C$關於$\triangle ABC$的外接圓的對徑點分別為$A^*,B^*,C^*$$AB^*,AC^*$分別交$BC$$D,E$。設$M$$\overline{DE}$中點,$H$$\triangle A^*B^*C^*$的垂心。證明:$A,H,M$共線。」

最後他們決定解散秋月樂隊,並邀請碧井建立碧井樂隊。

N.(四月是你的謊言)

你,有馬公生,走進了醫院,看著護士小姐不斷喊著:「宮園小姐!宮園小姐!妳還沒做完這道題目」,於是你打算替即將死去的她做完這道題目:
「1. 求所有正整數映至正整數的函數 $f$, 使得對於所有正整數 $m,n$, 都有

(3)
\begin{align} \gcd{(f(m),n)}+\gcd{(f(n),m)} = 2\gcd{(m,n)} \end{align}

其中 gcd 代表兩數的最大公因數。 」

宮園薰死後,有馬公生收到了來自她的一封信,上面寫著我喜歡你,還有一道題目:
「2. 求最小的正整數 $k$, 使得可以用 $k$ 種顏色將所有整數塗色, 滿足任兩個數如果差是質數, 則塗不同顏色。」

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