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(此為題目區)

A1. 試求出所有實數$a,b,c,d$滿足

(1)
\begin{cases} (b+c+d)^4 = 3a \\ (c+d+a)^4 = 3b \\ (d+a+b)^4 = 3c \\ (a+b+c)^4 = 3d \\ \end{cases}

A2. 試求所有正整數$n\ge 2$,使得存在一個$1,2,\ldots, 2n$的排列$a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$,使得

(2)
\begin{align} a_1a_2+a_3a_4+\ldots +a_{2n-3}a_{2n-2}=a_{2n-1}a_{2n} \end{align}

C1. 歐式平面上,定義$n$個點的重心是他們的坐標的平均。給定正整數$k>1$,現在有一個有限點集$S$,滿足裡面任意$k$個點的重心都在$S$裡,求$S$最多幾個點。

C2. 設$n$為一奇數,有$n$個人在一個平面上,任兩人都距離都不相同,每個人都會拿望遠鏡看著距離他最近的人。證明:存在一個人不被其他人用望遠鏡看著。

G1. 設三角形$ABC$的外接圓為$\Omega$$T$為平面上一點滿足$TB$$TC$$\Omega$相切,做$T$$CA,AB$的垂足$E,F$。證明:$\triangle AEF$的垂心落在直線$BC$上。

G2. 設三角形$ABC$的三個旁心分別為$I_a,I_b,I_c$,做一圓以$I_a$為圓心,且和$BC$相切於$D$,類似定義$E,F$。證明$I_aD,I_bE,I_cF$共點。

N1. 試求所有正整數$n$使得$2^{n+1}-n^2$是一個質數。

N2. 試求所有正整數對$(x,y)$使得

(3)
\begin{align} xy\mid x^2+2y-1 \end{align}

進階題
A3. 對一正整數$n\ge 3$,設$\phi(n)$為所有小於$n$且和$n$互質的正整數形成的集合,考慮

(4)
\begin{align} P_n(x) = \sum\limits_{k\in\phi(n)} x^{k-1} \end{align}

試求所有正整數$n$使得$P_n(x)$在整係數多項式下是不可分解的。

C3. 桌子上一共有$n$堆硬幣,硬幣只有兩種類型: "會裝弱的"和"不會裝弱的",同種類型的硬幣重量都一樣,不同種類的硬幣重量不相同。你知道同一堆硬幣都是同一種類型,並且你知道會裝弱的硬幣的重量,你現在想知道每堆硬幣是會裝弱的還是不會裝弱的,但是你只有一個電子磅秤,它可以精準的量出重量,請問你至少要量幾次重量才可以知道每堆硬幣是會裝弱的還是不會裝弱的? 假設每堆硬幣的個數沒有上限,也就是說你可以從每堆裡取任意多個硬幣。

G3. 設$ABC$為一銳角三角形,其垂心為$H$,且$BC$中點為$M$$BH,CH$分別與$AC,AB$交於$E,F$,若$X$$EF$上滿足$\measuredangle XMH=\measuredangle MAH$,證明$AH$平分$MX$

N3. 設$a_1,a_2,\ldots, a_n$為正整數列且$a>1$為一正整數滿足$a_1a_2\ldots a_n|a$,證明 $a^{n+1}+a-1$不被$(a+a_1-1)(a+a_2-1)\ldots (a+a_n-1)$整除。

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