1. (A1) 試求所有形如
(1)的正數的最小值,其中$n, k, r_i$為正整數。
2. (A2) 試求所有實係數多項式$P(x), Q(x)$使得$P(P(x)) = P(x)Q(x)$。
3. (C1) 試找出最大的$k$使得,你可以把$4\times 4$棋盤的$k$個格子塗黑,滿足沒有$5$個黑格子連在一起。
4. (C2) 因為疫情影響,台灣每天生產2020個一樣的口罩,政府決定將口罩分成若干堆,現在有2021個人排隊在搶口罩,而吳尚昱是第2021個人,因為人類是貪心的,每個人都會搶走目前剩下的口罩中最多的那堆,政府想要計算給定正整數$a, b$,有幾種分法使得前$a$個人都可以拿到至少$b$個口罩,將其記為$f(a, b)$。現在記者問了吳尚昱兩個問題。
(1). 請問你有拿到口罩嗎?
(2). 請問$f(a, b) = f(b, a)$嗎?
但是因為吳尚昱詞窮,所以請幫他回答這兩個問題。
5. (G1) 令$I$為$\triangle ABC$的內心,$I_a, I_b, I_c$分別為$\triangle ABC$的$A, B, C$-旁心。證明:$I$是$\triangle I_aI_bI_c$的垂心。
6. (G2) 設$ABCD$為圓內接四邊形且$M, N, P, Q$分別爲$AB, BC, CD, DA$的中點,對角線$AC$和$BD$交於$X$,設$Y$為兩圓$\odot(XMN)$和$\odot(XPQ)$的另一個交點,證明$XY$垂直$BD$。
7. (N1) 給定任三個相異奇質數$p_1, p_2, p_3$,證明或否證其中有兩個的平均是合數。
8. (N2) 設$a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ 為一無窮正整數列,滿足對於所有正整數$1 \leq i < j \leq n$,$a_i - a_j$都不是$n$的倍數。證明所有大於$a_1$的正整數都在數列中出現過。