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心動動想報名了嗎？那就來試試我們特別為你們準備的題目來練練手吧！
繳交解答數量不用太多(大約 4~8 題即可)，我們只是希望你具有一定的數學基礎。

1. (A0)
考慮函數

(1)

\begin{align} f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1-2x}}, \end{align}

求

(2)

\begin{align} f\left(\frac{1}{10}\right) + f\left(\frac{2}{10}\right) + \cdots + f\left(\frac{9}{10}\right). \end{align}

2. (C0)
有一個正$2021$邊形，在它的每個頂點放上一個正面朝上的硬幣。每次你可以選擇一個頂點，將其相鄰的兩個頂點翻面。請問是否可以將這些硬幣全部翻成反面朝上？
3. (G0)
設$D$, $E$, $F$分別為$\triangle ABC$三邊$\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$的中點，滿足$\overline{AD} = 9$, $\overline{BE} = 12$, $\overline{CF} = 15$。試求$\triangle ABC$的面積。
4. (N0)
求$3^{2021}$除以$15$的餘數。
5. (A1)
證明若正數$x,y$滿足 $x+y=3, x,y\geq 1$，則有

(3)

\begin{align} 9(x-1)(y-1)+(y^2+y+1)(x+1)+(x^2-x+1)(y-1) \geq 9. \end{align}

6. (C1)
有$3n$個$A$跟$2n$個$B$排成一列，其中$n$是正整數，證明找得到長度為$5$的連續段有$3$個$A$和$2$個$B$。
7. (G1)
令$I, O$分別為$\triangle ABC$的內心和外心，$P$為$I$對$O$的對稱點。$P$到$BC, CA, AB$的垂足分別為$X, Y, Z$。證明：$AP^2 + PX^2 = BP^2 + PY^2 = CP^2 + PZ^2$。
8. (N1)
證明：若$2^{2^n-1}-1$為質數，則$n$亦為質數。
9. (A2)
找到所有實數打到實數的函數$f$，滿足對任意實數$x,y$都有$f(x) + f(y) = f(x + y)$，且存在非常數多項式$P(x), Q(x)$使得

(4)

\begin{equation} P(x)f(Q(x)) = f(P(x)Q(x)) \end{equation}

對任意實數$x$皆成立。
10. (C2)
試求最大的十進制正整數$n$，滿足相鄰的數碼都不相同，且對於兩個相異數字$0 \leq a,b \leq 9$，$n$不能在不改變順序下移除一些數字得到$abab$。
11. (G2)
給定$\triangle ABC$，令$D$為$A$對$BC$的垂足關於$BC$中點的對稱點，$E$為$B$對$CA$的垂足關於$CA$中點的對稱點，令$F$為$C$對$AB$的垂足關於$AB$中點的對稱點。證明：$DE$ 垂直$AC$若且唯若 $DF$垂直 $AB$。
12. (N2)
證明：對於所有正整數$m,n$，$\frac 1m + \frac 1{m+1} + \dotsb + \frac 1 {m+n}$都不是整數。
13. (A3)
找出所有單射函數$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，滿足對於所有正整數m,n，都有

(5)

\begin{align} f(nf(m)) \leq nm. \end{align}

14. (C3)
桌上有$n$張卡，其中$n$是一個偶數，每張卡上有一個數字，數字分別是$1$到$n$。兩個人輪流在抽卡，先手固定會拿走當前桌上數字最大的卡片，後手則會隨機從當前桌面上抽一張卡。證明：$i$被先手抽到的機率是$\frac{i-1}{n-1}$。
15. (G3)
給定$\triangle ABC$ 且 $\angle A=45^\circ$，令$H,O$分別為$\triangle ABC$的外心與垂心，$\overline{BC}$中點為$M$、$\overline{OH}$中點為$N$。證明：$\angle BAM=\angle CAN$。
16. (N3)
證明：存在恰含有$2021$個質因數的整數$n$，滿足$n|2^n+1$。

我們特意出了一些不需要數學定理及太深的數學背景便能夠作答的題目，因為我們期望能夠看到的是您的思路過程。然而即便如此，這些題目也並不一定是那麼地容易；事實上，在一題上面耗費幾個小時在更高等的數學和數學競賽中是常有的事情，建議您能先自己探索這些題目的有趣之處。

題目經過適當的排序，使得編號較小的題目可能比較簡單。如果您是初學者，建議您可以從簡單的題目開始；若您對於自己的能力有足夠認證，也可以選擇跳過一些較簡單的題目。這意味著，我們並不期望報名的學員都能夠做完所有題目(不過做出愈多題目當然是愈好的)。

您可以與同儕們討論交流，但請務必以自己的方式寫下證明過程。數學式建議使用 LaTeX 或使用 Word 的數學式編輯器，但記得要轉成 PDF 上傳。