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A1.
證明可以找到50個正整數,使得每一個數分別加上自己的數字和後,得到的值都相同。

(一個數的「數字和」是指它(在十進位時)所有位數的總和。
 所以例如670這個數再加上自己的數字和就是670+6+7+0=683。)

A2.
試找出所有無窮正整數數列 $a_1,a_2,a_3,...$ 滿足:對於所有正整數 $k$ 都有

(1)
\begin{equation} a_k+a_{k+1}=a_{k+2}a_{k+3}-100 \end{equation}

G1.
平面上有兩個正多邊形A ,B 。
對A 內部的每一點a 和B 內部的每一點b ,我們都在平面上標出$\overline{ab}$ 的中點p 。
令P 是這些p 點所形成的區域。
請問當A ,B 滿足那些條件時,P 也會是個正多邊形?

G2.
$ABCD$ 為凸四邊形, $\overline{AB}=\overline{BC}$$K$ 為對角線 $\overline{BD}$ 上的一點,
$\angle {BAD}+\angle {BCD} =\angle {AKB}+\angle {BKC}$
證明 $\overline{AK}\times \overline{DC}=\overline{AD}\times \overline{KC}$

C1.
有10000種企鵝,每種企鵝都有無限多隻,
其中一種企鵝每隻重2公斤,其餘9999種企鵝每隻重1公斤。
為了找出哪一種才是2公斤重的企鵝,人們找來了測量重量的專家──嘎嘎,
每一次可以選擇一些企鵝,讓嘎嘎抱起來,再餵給嘎嘎一盒中華豆花,
嘎嘎就會告訴你這些企鵝的總重量。
但是,如果不小心讓嘎嘎抱起的企鵝總重量大於或等於1717,嘎嘎就會覺得太重,然後很不開心的告訴你總重量是1717公斤。
1) 證明用九盒中華豆花就找出哪種企鵝重兩公斤。
2) 試問最少需要幾盒中華豆花才能保證一定能找出哪種企鵝重兩公斤?

C2.
皮皮和怪人合點了一個$a\times b$ 的長方形巧克力,$a,b$ 是個正整數。
由皮皮開始,兩個人輪流食用這塊巧克力。
假設輪到一個人吃時,剩下的巧克力大小是$p\times q, \ p\leq q$
那他就可以撥下一塊$p\times (kp)$ 吃掉,留下$p\times (q-kp)$ 的長方形巧克力給對方(其中$k\geq 1, \ q-kp\geq 0$)。
吃掉最後一口的人就必須要付巧克力的錢。
皮皮和怪人無疑地絕頂聰明,並且都喜歡陷害對方。
請問那些$a,b$會讓皮皮需要付錢?
(注意:這裡$a\times b$是指長$a$$b$ 的長方形,並不單純表示長方形面積是$ab$)

N1.
所謂的「格點」是指座標平面上那些x,y座標都是整數的點。
試找出所有的正整數組(a,b,c),使得座標平面上存在一個三角形,
它的三個頂點都是格點,並且三條邊分別經過a,b,c個格點。

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