研習營適合我嗎?

想知道這個營隊適不適合你嗎?

在下面我們列出八個題目,初等數學四大領域:代數A、幾何G、組合C、數論N各佔了兩題,
可以花時間想想看。
這些題目都不需要很艱難的定理,
但做起來不是那麼容易,
或許你會花好幾個小時才能解出來,不要感到挫折,這是很正常的!

營隊大約便是以這種難度作為起點開始建立的,
如果你對這些題目感到很有趣,或者有辦法解出其中一些題目的話,
相信這個營隊一定能夠讓你學到許多東西的!

A1.
(1)試問是否存在無限多項的正整數等差數列,使得每項嚴格遞增,每一項的數字和也嚴格遞增?
(2)試問是否存在$2009$項的正整數等差數列,使得每一項嚴格遞增,每一項的數字和也嚴格遞增?
(註:一個數字的數字和為此數字的每一位數全部加起來,如$2409$的數字和是$2+4+0+9=15$)

A2.正實數$a,b,c$滿足$abc=1$,試證

(1)
\begin{align} a + b + c + \frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2}+ \frac{1}{c+2} \ge 4 \end{align}

G1.凸六邊形$ABCDEF$滿足$\overline{AC}=\overline{CE}=\overline{EA}=\overline{BD}=\overline{DF}=\overline{FB}$,令$A',B',C',D',E',F'$分別為$\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\overline{FA}$的中點,試證$\overline{A'D'},\overline{B'E'},\overline{C'F'}$三線共點。

G2.圓上有四個點$A, B, C, D$,過$A$點與過$C$點的切線交於$K$,過$B$點與過$D$點的切線交於$L$。試證$A, C, L$三點共線$\Leftrightarrow$$B, D, K$三點共線。

C1.
  上帝與撒旦正在進行攸關全人類的最終決鬥!首先,上帝先寫一串由"上"、"下"、"左"、"右"組成的序列,這個序列只能是有限長的(也就是一定這數列一定要有結尾,不過究竟要多長,上帝可以自由決定)。
  寫完後,上帝將序列交給撒旦,撒旦可以在一個$2009\times 2009$的棋盤上建築一些牆,但是有三個規定:第一,牆只能蓋在棋盤格子的邊上;第二,大棋盤最外圍有牆圍繞起來;第三,蓋完後棋盤仍要是連通的,也就是說隨便選兩個格子,一定要有路可以從一個格子走到另外一個格子。
  築完牆後,撒旦選擇兩個格子作為起點和終點。上帝將一個人類放在起點,然後開始念那一串序列,並將序列灌輸進人類的腦中。人類會依照序列而上下左右移動一格,若遇牆的阻擋則待在原地不動。如果在上帝讀完序列以前,人類曾踏經終點,那麼上帝就獲勝了!反之,世界將被撒旦征服。
  試問:這場最終對決將是誰獲勝呢?

C2.試問在$8\times 8$的棋盤上至少要放多少以下形狀的方塊,才能使得無法在剩下的格子中再多放下任何一塊?(方塊可以旋轉)
$\square$
$\square\square$

N1.試證存在無窮多的正奇數$n$,使得$2^n+n$不是質數。

N2.在座標原點上有一個機器人,他有$N$個指令,其中"一個指令"是指一個內建好的向量$(a,b)$$a,b\in \mathbb{Z}$,我們可以讓機器人往這個方向"前進一步"或是"倒退一步"。試證我們可以重新定義這個機器人的指令,使得機器人能夠走到的位置不變,但是只剩下$2$個指令。

 ※※由於讀者「怪人」來信表示看不懂題目,因此我們重新敘述題目如下:
  在座標原點上,有位身著白色露肩洋裝,以粉紅色蕾絲緞帶紮雙馬尾的蘿莉,她大大的眼睛宛如夜空中的月般澄澈明亮,笑起來如銀鈴似清脆的笑聲,和兩個小小甜甜的酒窩,特別惹人憐愛。這位蘿莉她非常想要找人陪她玩,可惜她還太小,不認得路,她只學會往$N$個方向走(其中$N$是小蘿莉的年齡,$N\geq1$,至於$N$的上限請自己決定),這裡的每個方向都是指類似「向東 a 格,再向北 b 格」的動作,其中 a 跟 b 都是整數。小蘿莉可以依照這個方向從原本的座標$(x,y)$直接飛(小蘿莉會魔法,她會飛)到$(x+a,y+b)$上,或者往反方向飛到$(x-a,y-b)$上。即使不認得路,這位好動又調皮的小蘿莉決定在這個坐標平面上隨意地亂飛,看能不能遇到好朋友可以跟她一起玩。
  在這個坐標平面上,還住了許多大叔。事實上,每個格子點上都住著一位大叔,他們從不離開自己住的格子點,因為他們實在是太宅了。他們寧可逛網拍、PTT和打怪練功,也不願打開家門出去活動一下(特別地,在座標原點上也有一位大叔。那是蘿莉她哥)。在小蘿莉為了找朋友陪她玩而隨便亂走的過程中,若不小心與某位大叔相遇,這位大叔就會被小蘿莉嬌小的身軀與稚嫩的臉蛋萌到。被萌到的大叔們,將會整日沉浸於動漫世界與後宮式戀愛遊戲中。基本上他們的人生算是報廢了。然而小蘿莉並不知道她具有毀滅一個人前途的能力,仍然繼續她的旅程。
  請證明:對於任何一個$N$歲的小蘿莉,我們都可以找到一個只有$2$歲的小小小蘿莉(?),使得小蘿莉能夠報廢的大叔,小小小蘿莉一樣能夠報廢他;小小小蘿莉能報廢的大叔,小蘿莉也可以報廢他。
  (誰看的懂啊!!!!!!!!!!!!!!)

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License