研習營適合我嗎

想知道這個營隊適不適合你嗎?

在下面我們列出八個題目,初等數學四大領域:代數A、幾何G、組合C、數論N各佔了兩題,
可以花時間想想看。
這些題目都不需要很艱難的定理,
但做起來也許不是那麼容易,
或許你會花好幾個小時才能解出來,不要感到挫折,這是很正常的!

這次,希望你們能夠試著把證明過程寫下來。
只要你能解決其中的三題以上,或是有一部分的想法,能夠做出一點結論,
都歡迎在報名時附上。
因為不是考驗數學知識的關係,
這八題需要一些靈光一現的想法,或是處理小細節的能力,
這也正是我們想要看到的!

A1.
無限正整數數列$a_1 ,a_2 ,a_3$….滿足:
(a)對於每一個正整數$k$,都有 $k\mid a_k$
(b) $\mid a_{k+1} - a_k \mid \leq 5$
請問$a_1$最大可能是多少?
 
 
 
A2.
( ***這題好像壞掉了,請不要試圖解它!! )

$f(x,y,z)$滿足:對任意的實數$a,b,c,d$都有

(1)
\begin{equation} f(a,b,c)+f(b,c,d)+f(c,d,a)+f(d,a,b)=a+b+c+d \end{equation}

證明:對任意的$n\geq 3$$(x_1,x_2,...,x_n)$都有

(2)
\begin{equation} f(x_1,x_2,x_3)+f(x_2,x_3,x_4)+...+f(x_{n-1},x_n,x_1)+f(x_n,x_1,x_2)= x_1+x_2+....+x_{n-1}+x_n \end{equation}

 
 
 
G1.
凸四邊形$ABCD$兩雙對邊均不平行,連接直線$AB$與直線$CD$交於點$P$,令$E$$F$分別為對角線$AC$$BD$的中點,求證:三角形$PEF$的面積是四邊形$ABCD$$\frac{1}{4}$倍。
 
 
 
G2.
給定三角形$ABC$,在$\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CA}$的垂直平分線上分別任選一點$F$,$D$$E$。分別過$A$,$B$,$C$作與$\overline{EF}$,$\overline{FD}$,$\overline{DE}$垂直的三條線。證明這三條線交於一點。
 
 
 
C1.
$400$個人排成$20\times20$的正方形,其中有$n$人天生就很怪。根據近朱者赤近墨者黑的法則,只要這個正方形的某一排或某一列的$20$人中有$6$個人以上(包含$6$人)很怪的話,那麼這$20$個人全部都會變成怪人。如果最後這$400$個人都變得怪里怪氣,那麼$n$至少是多少?
 
 
 
C2.
在一場魔術表演中,觀眾在黑板上一個接著一個地寫出2010個0~9的數字,寫完後,魔術師的助手把其中一個數字用版子遮住。緊接著偉大的魔術師出場,順利地猜出了被遮住的那個數字是多少!
(a)請想出一個策略,讓不管觀眾寫怎麼樣的數字,助手都有辦法選擇版子蓋的位置,讓魔術師能夠順利猜出數字。
(b)由於這個魔術奇幻雖奇幻,卻枯燥無比(因為要等觀眾寫完2010個數字),因此魔術師考慮改良這個魔術,讓觀眾寫N個0~9的數字就好了,魔術的其他部分不更動。請找出全部的N,讓魔術師與助手能夠有一個策略,不管觀眾寫怎樣的數字,助手都有辦法選擇版子蓋的位置,讓魔術師能夠順利猜出數字。
 
 
N1.
證明對於任意兩兩相異的正整數$a_1,a_2,...,a_n$$n\geq 3$,一定可以找到$a_i,a_j$$1\leq i<j \leq n$,讓對所有的$1\leq k\leq n$$a_i+a_j$不會整除$3a_k$
 
 
 
N2.
如果正整數$n$的所有正因數和是$2$的某個次方,證明:$n$的因數個數也是$2$的某個次方。
 
 
 
對於題目敘述感到任何疑惑,都歡迎寄信到wt.ude.utn|68110979b#wt.ude.utn|68110979b詢問,還請不吝指教!
 
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2009年八題

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