研習營適合我嗎?

想小試一下身手展現自己的實力嗎?
想知道營隊課程內容大致的難度嗎?

按照歷年慣例,我們都會先提供八題題目給學員做為參考,
八個題目都不會用到過於艱深的定理,但都需要一些獨特的想法,
這些題目都是有一定的難度的,你可能需要花不少的時間才有辦法解出來,
但不要感到挫折,能夠做出來就已經是相當不錯的了。

做這些題目的過程都是很艱辛的,你可能會深陷思維的泥沼數小時而不能自拔,
直到靈光一現突然看出了一些端倪。
如果你對於思考這些題目感到樂在其中,或者你可以做出一些題目的話,
那麼相信這個營隊一定能夠讓你學到許多東西的!

另外不需要擔心沒有得獎紀錄、沒有經驗怎麼辦,如果你能夠對這些題目產生一些靈光一現的想法,
或者有著觀察題目的敏銳眼光與處理複雜問題的能力,都可以試著寫下來附在報名資料,
繳交題數並沒有特別限制,不過如果覺得寫下來有點麻煩,
那只需要交你覺得最能夠讓我們驚豔的或者你解出來最得意的兩題就足夠了。

今年的題目 A(代數)C(組合)G(幾何)N(數論)都會各有兩題吧XDD,學員可以自己挑選有興趣或者專長的項目先挑戰。

然後題目真的沒有很簡單,至少我覺得啦QAQ,所以短時間內做不出來是很正常的XDD
而且看了一下題目覺得幾何都不幾何了,所以有補了比較純幾的G3了~~

A1 因為舊的那個有錯,而且連出處都被挖出來了GG,所以乾脆換一題~~
稱多項式$A(x)= a_nx^n+...+a_1x+a_0$和多項式$B(x)=b_mx^m+...+b_1x+b_0$為"相似的"
如果(1) n=m
且(2) 存在一個{0,1,2,…,n}的排列組合$\pi$,使得$a_i = b_{\pi(i)}$ 對於所有$i \in {0,1,2,...,n}$

若P(x)和Q(x)是"相似的"整係數多項式,且$P(16)=3^{2012}$,試求$| Q(3^{2012}) |$的最小值。

A2
找出所有的函數$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$使得
$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ 對於所有$x,y \in \mathbb{R}$都滿足。

C1
愷愷把桌上有100個便當排成一排, 每個便當的熱量不盡相同
現在肥肥跟愷愷準備要吃飯, 兩個人輪流從這排便當的最左邊或最右邊拿走其中一個去吃,拿到完為止
而肥肥非常的餓,所以肥肥先拿
因此結束時兩人都拿到了50個便當
證明無論便當如何放置, 肥肥攝取的熱量一定不會少於愷愷。

假設過了一天,愷愷不服氣,把一百個便當排成Y字型,輪流從Y字型的頂點拿,且肥肥一樣先拿
試問肥肥是否還能保證吃的不比愷愷少?

C2
蔡神有一堆標號為1~n的珠子,現在他把它們串成一棵樹(tree,即沒有circle存在),並且記下所有相連珠子彼此的編號(即記下樹中所有的edge)
但致寬拿來玩的時候,不小心弄散了珠子,並且散的一乾二淨毫無保留,又變成了n個珠子
蔡神沒有辦法只好重串一遍,但串好了之後他發現居然跟之前的長得一模一樣,而且所有相連珠子彼此的編號也都相同
試證如果新的跟舊的放在一起看的話(雖然舊的已經壞了QQ),一定有一個珠子沒有被動到,或者有一條邊(即一對相連的珠子)沒有被動到。

如果現在把樹改成連通圖,且知道這個連通圖不存在三條頭尾相同也不相交的路徑,那麼是否有一個珠子、或者有一條邊(即一對相連的珠子)、或有一個circle(一圈珠子)沒有被動到?

G1
若三角形ABC內部兩點P、Q滿足:$\angle PAB=\angle PBC =\angle PCA$
$\angle QBA =\angle QCB =\angle QAC$,則證明$\overline{PO}=\overline{QO}$
(O為外心)

G2
三角形ABC內部一點P,證明$\angle PAB、\angle PBC、\angle PCA$至少有一個不超過30度

G3
三角形ABC,M為三角形外接圓O上$\stackrel{\frown}{BC}$(不含A一側)中點,過A點做$\overline{BC}$的垂線,交於$\stackrel{\frown}{BC}$於N點
過圓心O做$\overline{MB},\overline{MC}$的平行線,分別交$\overline{AB},\overline{AC}$於K,L
證明$\overline{NK} = \overline{NL}$

N1
是否存在一個等角 n 邊形
使得各邊長都是正整數卻兩兩不同
當 n 是 25 , 26 , 27 ?

N2
證明:$n \mid \phi (2^n-1)$
其中$\phi (m)$是歐拉函數,$\phi (m) =$ "小於m且與m互質的正整數個數"

另外也可以先參考過去幾年的題目
不過在報名資料中附上過去幾年的題目解法是沒有用的喔~~
2009年
2010年
2012年

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