研習營適合我嗎?

想小試一下身手展現自己的實力嗎?
想知道營隊課程內容大致的難度嗎?

按照歷年慣例,我們都會先提供八題題目給學員做為參考,
八個題目都不會用到過於艱深的定理,但都需要一些獨特的想法,
這些題目都是有一定的難度的,你可能需要花不少的時間才有辦法解出來,
但不要感到挫折,能夠做出來就已經是相當不錯的了。

做這些題目的過程都是很艱辛的,你可能會深陷思維的泥沼數小時而不能自拔,
直到靈光一現突然看出了一些端倪。
如果你對於思考這些題目感到樂在其中,或者你可以做出一些題目的話,
那麼相信這個營隊一定能夠讓你學到許多東西的!

另外不需要擔心沒有得獎紀錄、沒有經驗怎麼辦,如果你能夠對這些題目產生一些靈光一現的想法,
或者有著觀察題目的敏銳眼光與處理複雜問題的能力,都可以試著寫下來附在報名資料,
繳交題數並沒有特別限制,不過如果覺得寫下來有點麻煩,
那只需要交你覺得最能夠讓我們驚豔的或者你解出來最得意的兩題就足夠了。

今年的題目 A(代數)C(組合)G(幾何)N(數論)都會各有兩題吧XDD,學員可以自己挑選有興趣或者專長的項目先挑戰。

然後題目真的沒有很簡單,至少我覺得啦QAQ,所以短時間內做不出來是很正常的XDD

A1
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ,滿足
$(1)$ $f$$[0,1]$ 間遞增。
$(2)$$n$ 取正整數時, $\displaystyle|\frac{f(n)}{n}-2015|<n^{-\frac{1}{2015}}$
$(3)$ $\exists M>0$ 使得對所有實數對 $(x,y)$$|f(x)+f(y)-f(x+y)|<M$
證明存在 $N>0$ ,使對所有 $x\in\mathbb{R}$,$|f(x)-2015x|<N$

A2
對於首項係數為正的多項式 $f,g$ ,定義 $f\triangleleft g$ 若且唯若 $g-f$ 是首項係數非負的多項式。證明對於首項係數為正的 $n$ 個多項式 $f_1,...,f_n$
$\displaystyle\sum_{i=1}^nf_i\left(\frac{\sum_{j=1}^nf_j(x)}{n}\right)\triangleleft \sum_{i=1}^nf_i(f_i(x))$ .

C1
設數列 $\{a_n\}$ 滿足如下性質:
$(1)$ $a_1=1,a_2=2$
$(2)$ $a_{2n+1}=a_{4n}+1$
$(3)$ $a_{4n+2}=a_{4n+1}+1$
$(4)$ $a_{4n}=a_{2n}+a_{n}$
證明所有正整數都出現在 $\{a_n\}$ 中恰一次。

C2
證明對所有正整數 $n$ ,存在一個圖形,使得用 $1\times 2$ 的圖形填滿它的方法數恰為 $n$

G1
$\bigtriangleup ABC$ 是個銳角三角形, $H$ 是它的垂心, $O$ 是它的外心, $F$$C$$\overline{AB}$ 上的垂點。過 $F$$OF$ 垂直的線交 $\overline{AC}$$E$ 。證明 $\angle BAC=\angle FHE$

G2
$O_1,O_2$ 為兩個圓, $\ell$ 是它們的一條公切線。設 $\gamma$ 是一條與 $O_1,O_2$ 不相交的線,在 $\gamma$ 上取一點 $P$$P$$O_1$ 的兩條切線交 $\ell$$X,Y$$X,Y$$O_2$ 的不同於 $\ell$ 的切線交於 $Z$ 。證明 $P$$\gamma$ 上動時, $Z$ 的軌跡是一條直線。

N1
$p$ 是一個質數,且存在正整數 $0<a<b<c<p$ 使 $a^3,b^3,c^3$ 除以 $p$ 的餘數相同。找出所有正整數 $n$ 使 $a+b+c|a^n+b^n+c^n$

N2
對於一個正實數 $t$ ,稱一個嚴格遞增的無窮正整數列 $a_1,a_2,...$ 具有「 $t$ 性質」若且唯若
$(1)$ 存在正實數 $c$ 使得 $(a_i,a_{i+1})\geq ct^i$ .
$(2)$ 存在正實數 $d$ 使得 $[a_i,a_{i+1}]\leq dt^i$ .
試證明對所有 $s>1$ ,都存在 $k<s$ ,使得存在具有 $k$ 性質的數列。

另外也可以先參考過去幾年的題目
不過在報名資料中附上過去幾年的題目解法是沒有用的喔~~
2009年
2010年
2012年
2013年

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