研習營適合我嗎OAO?

想知道營隊課程內容大致的難度嗎? 想小試身手電爆前國手的自編題嗎?

按照歷年慣例,都會先提供八題題目給學員做為參考。這次,我們打算做新的嘗試,
從今天開始的每個禮拜日,都會在這裏放上新的一題,有點像是傳說中的雙週一題。
而採用的交卷方式,是以IOI作為參考的,也就是到報名截止(6/30)前可以瘋狂寄,
我們會盡可能快速地告訴各位結果(e.g.AC,WA,TLE),並且公佈在積分榜上面!(笑

確實做題目的過程都是很艱辛的,你可能會深陷思維的泥沼,然後數小時不能自拔,
直到靈光一現突然看出了一些端倪。如果對於如此的過程感到樂在其中(這樣是m?),
那麼相信在營隊期間一定能夠讓你學到許多東西的!也吃到許多東西的!

其實不需要擔心沒有得獎紀錄、經驗怎麼辦,能夠對題目產生一些靈光一現的想法,
或者有著觀察題目的敏銳眼光與處理複雜問題的能力,都可以寫下來附在報名資料。

今年的題目A(代數)C(組合)G(幾何)N(數論)都會各有兩題吧(?),是說題目沒很水,
至少我覺得啦QAQ,雖然我目前也才看到一題@@,因此短時間內沒結果別氣餒 ><

  • 題目解答請傳至 moc.liamg|6102pmacomi#moc.liamg|6102pmacomi 或者私訊粉專 2016 IMOC

P1
a.(2pts) 平面上有一個2n邊形,其每個頂點上都有一台機器人,每台機器人都射出一道雷射光指向另一台機器人。
每次操作可選取一台機器人,叫它順時鐘旋轉,直到他的雷射光指向一台新的機器人為止,當兩台機器人A,B滿足
A的雷射光指向B且B的指向A,稱A,B很GS。求出至少要多少次操作以內,才能保證平面上出現n對很GS的機器人?
b.(5pts) 平面上有一個3n邊形,其每個頂點上都有一台機器人,每台機器人都射一道雷射光指向另一台機器人。
每次操作可選一台機器人,叫它順時鐘旋轉,直到他的雷射光指向一台新的機器人為止,當三台機器人A,B,C滿足
A的雷射光指向B、B的指向C且C的指向A,稱A,B,C為眼皮。求出至少要轉多少次,才能保證平面上出現n個眼皮?

P2
(7pts)我們稱4k+1型的數為眼皮數,稱質數為會轉的數。試求所有p滿足:
(1)p是一個會轉眼皮的數(p是4k+1型的質數)
(2)2*((p-1)/2)!是p的原根

P3
(7pts)邦誠的城邦是一個8x8的城邦,有天傍晚邦誠想幫城邦蓋運河,讓每一格沒有城堡的格子都洽被經過一次後回到原點,但邦誠發現這樣只有一種蓋運河的方法,請問城邦裡至少有幾座城堡?
(題目等價於:有一個8*8方格 至少要挖掉幾格才能讓剩下的格子有唯一的哈密頓圈)

P4
(7pts) 求出所有的函數$f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$使得對於所有正實數$x,y$,都有

(1)
\begin{align} f\left(x+f\left(x\right)+2y\right)=f\left(2x\right)+y+f\left(y\right) \end{align}

p5
(7pts) 求出最佳係數$k$使得對於所有的正實數$a,b,c,d$,以下的不等式都成立.

(2)
\begin{align} \sqrt[6]{a^3+b^3+c^3}+\sqrt[6]{a^3+b^3+d^3}+\sqrt[6]{a^3+c^3+d^3}+\sqrt[6]{b^3+c^3+d^3} \le k\cdot\sqrt{\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{a^4+b^4+c^4+d^4}} \end{align}

P6
(7pts) 三角形$ABC$ 和一個圓$O$$A$對圓$O$的極線交$BC$$A'$$B$對圓$O$的極線交$CA$$B'$$C$對圓$O$的極線交$AB$$C'$。證明:$A'B'C'$三點共線。
註:極線(polar)與極點(pole)的參考資料連結

P7
(7pts) 三角形$ABC$的外接圓為$\Gamma$$D$$BC$邊上的一點,假設圓$O_1$同時與$\overline{AD},\overline{BD}, \Gamma$相切,圓$O_2$同時與$\overline{AD}, \overline{CD}, \Gamma$相切,$I$為三角形$ABC$的內心,證明 : $I$對於圓$O_1$的反演點與$I$對於圓$O_2$的反演點重合。
註:反演的參考資料連結

P8
(7pts)試求所有平面上的四個點,使得任兩點距離都是質數。(旋轉、平移、鏡射視為相同)

另外也可以先參考過去幾年的題目,不過秒電過去幾年的題目解法是不算分的喔~~
2009年 2010年 2012年 2013年 2015年

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